arcus intra duo triangula Q
a
M, Q
a
V, quorum altitudines cum minui possint, quantum
libuerit, stantibus basibus MQ, QV, potest utique area ultra quoscunque limites
imminui. Posset autem ea area esse minor quacunque data etiamsi QV esset asymptotus,
qua de re paullo inferius.
174. Pro primo autem casu vel curva secet axem extra MQ, ut in T, vel in altero
extremo, ut in M; fieri poterit, ut ejus arcus TV, vel MV transeat per aliquod punctum V
jacens ultra S, vel etiam per ipsum S ita, ut curvatura illum ferat, quemadmodum figura
exhibet, extra triangulum MSQ, quo casu patet, aream curvæ respondentem intervallo
MQ fore majorem, quam sit area trianguli MSQ, adeoque quam sit area data; erit enim
ejus trianguli area pars areæ pertinentis ad curvam. Quod si curva etiam secaret alicubi
axem, ut in H inter M, & Q, tum vero fieri posset, ut area respondens alteri e segmentis
MH, QH esset major, quam area data simul, & area alia assumpta, qua area assumpta
esset minor area respondens segmento, alteri adeoque excessus prioris supra
posteriorem remaneret major, quam area data.
175. Area asymptotica clausa inter asymptotum, & ordinatam quamvis, ut in fig. 1
BA
ag
, potest esse vel infinita, vel finita magnitudinis cujusvis ingentis, vel exiguæ. Id
quidem etiam geometrice demonstrari potest, sed multo facilius demonstratur calculo
integrali admodum elementari; & in Geometriæ sublimioris elementis habentur
theoremata, ex quibus id admodum facile deducitu
Generaliter nimi
-[81]-
rum area
ejusmodi est infinita; si ordinata crescit in ratione reciproca abscissarum simplici, aut
majore: & est finita; si crescit in ratione multiplicata minus, quam per unitatem.
176. Hoc, quod de areis dictum est, necessarium fuit ad applicationem ad Mechanicam,
ut nimirum habeatur scala quædam velocitatum, quæ in accessu puncti cujusvis ad aliud
punctum, vel recessu generantur, vel eliduntur; prout ejus motus conspiret cum
directione vis, vel sit ipsi contrarius. Nam, quod innuimus & supra in adnot. f ad num.
118., ubi vires exprimuntur per ordinatas, & spatia per abscissas, area, quam texit
ordinata, exprimit incrementum, vel decrementum quadrati velocitatis, quod itidem ope
Geometriæ demonstratur facile, & demonstravi tam in dissertatione
De Viribus Vivis
,
quam in Stayanis Supplements; sed multo facilius res conficitur ope calculi integralis
k
Sit Aa in Fig. 1 = x, ag = y; ac sit x
m
y
n
= 1; erit y = x
-m/n
, y dx elementum areæ = x
-m/n
dx cujus integrate
−
x
−
+ A addita constanti A, sive ob x
-m/n
=y, habebitur
−
xy + A. Quoniam incipit area in A, in
origine abscissarum; si n – m fuerit numerus positivus, adeoque n major, quam m; area erit finita, ac valor
A = 0; area vero erit ad rectangulum Aa × ag, ut n ad n – m, quod rectangulum, cum ag possit esse
magna, & parva, ut libuerit, potest esse magnitudinis cujusvis. Is valor fit infinitus, si facto m = n, divisor
evadat = 0; adeoque multo magis fit infinitus valor areæ, si m sit major, quam n. Unde constat, aream fore
infinitam, quotiescunque ordinatæ crescent in ratione reciproca simplici, & majore; secus fore finitam.
l
Sit u vis, c celeritas, t tempus, s spatium: erit u dt = dc, cum celeritatis incrementum sit proportionale vi,
& tempusculo; ac erit c dt = ds, cum spatiolum confectum respondeat velocitati, & tempusculo. Hinc
eruitur dt = , & pariter dt = , adeoque = & c dc = u ds. Porro 2c dc est incrementum quadrati
velocitatis cc, & u ds in hypothesi, quod ordinata sit u, & spatium s sit abscissa, est areola respondens
spatiolo ds confecto. Igitur incrementum quadrati velocitatis conspirante vi, adeoque decrementum vi
contraria, respondet areæ respondent spatiolo percurso quovis infinitesimo tempusculo; & proinde
tempore etiam quovis finito incrementum, vel decrementum quadrati velocitatis respondet areæ pertinenti
ad partem axis referentem spatium percursum.
Hinc autem illud sponte consequitur: si per aliquod spatium vires in singulis punctis eædem
permaneant, mobile autem adveniat cum velocitate quavis ad ejus initium; differentiam quadrati
velocitatis finalis a quadrato velocitatis initialis fore semper eandem, quæ idcirco erit tota velocitas finalis
in casu, in quo mobile initio illius spatii haberet velocitatem nullam. Quare, quod nobis erit inferius usui,
quadratum velocitatis finalis, conspirante vi cum directione motus, æquabitur binis quadratis binarum
Demonstratio
primæ.
Aream
asymptoticam
posse esse
infinitam, vel
finitam
magnitudinis
cujuscunque.
Areas exprimere
incrementa, vel
decrementa
quadrati
velocitatis.
