[277]
§ III
Solutio analytica Problematis determinants naturam Legis Viriu
25. Ut hasce conditiones impleamus, formulam inveniemus algebraicam, quæ ipsam
continebit legem nostram, sed hic elementa communia vulgaris Cartesianæ algebræ
supponemus ut nota, sine quibus res omnino confici nequaquam potest. Dicatur autem
ordinata
y
, abscissa
x
, ac ponatur
xx
=
z
. Capiantur omnium AE, AG, AI &c. valores
cum signo negativo, & summa quadratorum omnium ejusmodi valorum dicatur
a
,
summa productorum e binis quibusque quadratis
b
, summa productorum e ternis
c
, & ita
porro; productum, autem ex omnibus dicatur
f
. Numerus eorundem valorum dicatur
m
.
His positis ponatur
z
m
+
az
m
-1
+
bz
m-
2
+
cz
m
-3
&c ... +
f
= P. Si ponatur P = o, patet
æquationis ejus omnes radices fore reales, & positivas, nimirum sola illa quadrata
quantitatum AE, AG, AI &c, qui erunt valores ipsius
z
; adeoque cum ob
xx
=
z
, sit
x
= ±
√
, patet, valores
x
fore tam AE, AG, AI positivas, quam AE', AG', &c negativas.
26. Deinde sumatur quæcunque quantitas data per
z
, & constantes quomodocunque,
dummodo non habeat ullum divisorem communem cum P, ne evanescente
z
, eadem
evanescat, ac facta
x
infinitesima ordinis primi, evadat infinitesima ordinis ejusdem, vel
inferioris, ut erit quæcunque formula
z
r
+
gz
r -
1
+
hz
r
-2
&c + l, quæ posita = o habeat
radices quotcunque imaginarias, & quotcunque, & quascunque reales (dummodo earum
nulla sit ex iis AE, AG, AI &c, sive positiva, sive negativa), si deinde tota multiplicetur
per
z.
Ea dicatur Q.
27. Si jam fiat P – Q
y
= o; dico, hanc æquationem satisfacere reliquis omnibus hujus
curvæ conditionibus, & rite determinate valore Q, posse infinitis modis satisfieri etiam
postremæ conditioni expositæ sexto loco.
[278]
28. Nam inprimis, quoniam valores P, & Q positi = o, nullam habent radicem
communem, nullum habebunt divisorem communem. Hinc hæc æquatio non potest per
divisionem reduci ad binas, adeoque non est composita ex binis æquationibus, sed
simplex, & proinde simplicem quandam curvam continuam exhibet, quæ ex aliis non
componitur. Quod erat primum.
29. Deinde curva hujusmodi secabit axem C'AC in iis omnibus, & solis punctis, E, G, I,
&c, E', G', &c. Nam ea secabit axem C'AC solum in iis punctis, in quibus
y
= o, &
secabit in omnibus. Porro ubi fuerit
y
= o, erit & Q
y
= o, adeoque ob P – Q
y
= o; erit P =
o. Id autem continget solum in iis punctis, in quibus
z
fuerit una e radicibus æquationis
P = o, nimirum, ut supra vidimus, in punctis E, G, I, vel E', G', &c. Quare solum in his
punctis evanescet
y
, & curva axem secabit. Secaturam autem in his omnibus patet ex eo,
quod in his omnibus punctis erit P = o. Quare erit etiam Q
y
= o. Non erit autem Q = o;
cum nulla sit radix communis æquationum P = o, & Q = o. Quare erit
y
= o, & curva
axem secabit. Quod erat secundum.
w
Hæc solutio excerpta est ex dissertatione
De Lege Virium in Natura
existentium. Accedit iis, quæ inde
sunt eruta, scholium 3 primo adjectum in huc editione Veneta prima. Ipsum problema hic solvendum
habetur in ipso hoc Opere parte I num. 117, ac ejus conditiones num. 118.
Denominatio, ac
præparatio.
Assumptio
cujusdam valoris
ad rem idonei.
Formula
continens
æquationem
quæsitum.
Æquationem fore
simplicem non
resolubliem in
plures.
Exhibituram
datum numerum
intersectionum
curvæ in datis
punctis.
