30. Præterea cum sit P – Q
x
= o, erit
y
=
P Q
; determinata autem utcunque abscissa
x
,
habebitur determinata quædam
z
, adeoque & P, Q erunt unicæ, & determinatæ. Erit
igitur etiam
y
unica, & determinata; ac proinde respondebunt singulis abscissis
z
singulæ tantum ordinatæ
y
. Quod erat tertium.
31. Rursus sive
x
assumatur positiva, sive negativa, dummodo ejusdem longitudinis sit,
semper valor
z
=
xx
erit idem; ac proinde valores tam P, quam Q erunt semper iidem.
Quare semper eadem
y
. Sumptis igitur abscissis
z
æqualibus hinc, & inde ab A, altera
positiva, altera negativa, respondebunt ordinatæ æquales. Quod erat quartum.
32. Si autem
x
minuatur in infinitum, sive ea positiva sit, sive negativa; semper
z
minuetur in infinitum, & evadet infinitesima ordinis secundi. Quare in valore P
decrescent in infinitum omnes termini præter
f
, quia omnes præter eum multiplicantur
per
z
, adeoque valor P erit adhuc finitus. Valor autem Q, qui habet formulam ductam in
z
totam, minuetur in infinitum, eritque infinitesimus ordinis secundi. Igitur
P Q
=
augebitur in infinitum ita, ut evadat infinita ordinis secundi. Quare curva habebit pro
asymptoto rectam AB, & area BAED excrescet in infinitum, & si ordinatæ &
assumantur ad partes AB, & exprimant vires repulsivas, arcus asymptoticus ED jacebit
ad partes ipsas AB. Quod erat quintum.
[279]
33. Patet igitur, utcunque assumpto Q cum datis conditionibus, satisfieri primis
quinque conditionibus curvæ. Jam vero potest valor Q variari infinitis modis ita, ut
adhuc impleat semper conditiones, cum quibus assumptus est. Ac proinde arcus curvæ
intercepti intersectionibus poterunt infinitis modis variari ita, ut primæ quinque ipsius
curvæ conditiones impleantur; unde fit, ut possint etiam variari ita, ut sextam
conditionem impleant.
34. Si enim dentur quotcunque, & quicunque arcus, quarumcunque curvarum, modo sint
ejusmodi, ut ab asymptoto AB perpetuo recedant, adeoque nulla recta ipsi asymptoto
parallela eos arcus secet in pluribus, quam in unico puncto, & in iis assumantur puncta
quotcunque, utcunque inter se proxima; poterit admodum facile assumi valor P ita, ut
curva per omnia ejusmodi puncta transeat, & idem poterit infinitis modis variari ita, ut
adhuc semper curva transeat per eadem illa puncta.
35. Sit enim numerus punctorum assumptorum quicunque =
r
, & a singulis ejusmodi
punctis demittantur rectæ parallelæ AB usque ad axem C'AC, quæ debent esse ordinatæ
curvæ quæsitæ, & singulæ abscissæ ab A usque ad ejusmodi ordinatas dicantur M
1,
M
2
,
M
3
, &c, singulæ autem ordinatae N'
1
, N'
2
, N'
3
, &c. Assumatur autem quædam quantitas
A
z
r
+ B
z
r-1
+ C
z
r
-
2
+ .... + G
z
, quæ ponatur = R. Tum alia assumatur quantitas T
ejusmodi, ut evanescente
z
evanescat quivis ejus terminus, & ut nullus sit divisor
communis valoris P, & valoris R + T, quod facile fiet, cum innotescant omnes divisores
quantitatis P. Ponatur autem Q = R -f- T, & jam æquatio ad curvam erit P – R
y
– T
y
=
o. Ponantur in hac sequatione successive M
1
, M
2
, M
3
, &c, pro
x
, & N'
1
, N'
2
, N'
3
, &c
pro
y
. Habebuntur æquationes numero
r
, quæ singulæ continebunt valores A, B, C, . . .
G, unius tantum dimensionis singulos, numero pariter
r
, & præterea datos valores M
1
,
M
2
, M
2
, &c, N
1
, N
2
, N
3
, &c, ac valores arbitrarios, qui in T sunt coefficientes ipsius
z
.
36. Per illas æquationes numero
r
admodum facile determinabuntur illi valores A, B, C,
. . . G, qui sunt pariter numero
r
, assumendo in prima æquatione, juxta methodos
Post eas conditi-
ones remanare
indeterminatione
m parem
cuicunque
accessui ad quas-
vis curvas in
punctis datis
quibusvis.
Quid requiratur ut
transeat per quæ
vis earum puncta.
Quomodo id
præstandum.
Progressus
ulterior.
Singulas ordinatas
responsuras
singulis abscissis.
Abscissis hinc
inde æqualibus
responsuras
æquales ordinatas.
Primum arcum
fore crus
asymptoticum
cum area infinita.
