43.
Coroll.
2. In iis limitibus, in quibus curva secat axem C'AC, potest ipsa curva secare
eundem in quibuscunque angulis ita tamen, ut angulus, quem efficit ad partes A arcus
curvæ in perpetuo recessu ab asymptoto appellens ad axem C'AC non sit major recto, &
ibidem potest aut axem, aut rectam axi perpendicularem contingere, aut osculari,
quocunque contactus, aut osculi genere, nimirum habendo in utrolibet casu radium
osculi magnitudinis cujuscunque, & vel utcunque evanescentem, vel utcunque abeuntem
in infinitum.
44. Nam pro illis punctis datis in arcubus curvarum quarumcunque, quas curva inventa
potest vel contingere, vel osculari quocunque osculi genere, ex quibus definitus est valor
R, possunt assumi arcus curvarum quarumcunque secantium axem C'AC, in angulis
quibuscunque: solum quoniam semper arcus curvæ, ut
t
N
y
debet ab asymptoto recedere,
non poterit punctum ullum
t
præcedens limitem N jacere ultra rectam axi
perpendicularem erectam ex N, vel punctum
y
sequens ipsum N jacere citra; ac proinde
non poterit angulus AN
t
, quem efficit ad partes A arcus
t
N in perpetuo recessu ab
asymptoto appellens ad axem C'AC, esse major recto.
45. Possunt autem arcus curvarum assumptarum in iisdem punctis aut axem, aut a
rectam axi perpendicularem contingere, aut osculari, quocunque contactus, aut osculi
genere, ut nimirum sit radius osculi magnitudinis cujuscunque, & vel utcunque
evanescens, vel utcunque abiens in infinitum. Quare idem accidere poterit ut innuimus,
& arcui curvæ inventæ, quæ ad eos arcus potest accedere, quantum libuerit, & eos
contingere, vel osculari quocunque osculi genere in iis ipsis punctis.
46. Solum si curva inventa tetigerit in ipso limite rectam axi C'AC perpendicularem,
debebit simul ibidem eandem secare; cum debeat semper recedere ab asymptoto,
adeoque debebit ibidem habere flexum contrarium.
47.
Scholium
1. Corollarium 1 est casus particularis hujus corollarii secundi, ut patet:
sed libuit ipsum seorsum diversa methodo, & faciliore prius eruere.
48.
Coroll
. 3. Arcus curvæ etiam extra limites potest habere tangentem in quovis angulo
inclinatam ad axem, vel ei parallelam, vel perpendicularem cum iisdem contactuum, &
osculorum conditionibus, quae habentur in corollario 2.
49. Demonstratio est prorsus eadem: nam arcus curvarum dati, ad quos arcus curvæ
inventæ potest accedere ubicunque, quantum libuerit, possunt habere ejusmodi
conditiones.
50.
Coroll
. 5. Mutata abscissa per quodcunque intervallum datum, potest ordinata
mutari per aliud quodcunque datum utcunque minus, vel majus ipsa mutatione abscissæ,
& ut-
[282]
-cunque majus quantitate quacunque data; ac si differentia abscissa; sit
infinitesima, & dicatur ordinis primi; poterit differentia ordinatæ esse ordinis
cujuscunque, vel utcunque inferioris, vel intermedii, inter quantitates finitas, &
quantitates ordinis primi.
51. Patet primum ex eo, quod, ubi determinatur valor R, potest curva transire per
quotcunque, & quæcunque puncta, adeoque per puncta, ex quibus ductæ ordinatæ sint
utcunque inter se proximæ, & utcunque inæquales.
Posse axem secari
in quibuscunque
angulis, & a
quavis
magnitudine
arcuum.
Demonstratio:
limitatio
necessaria.
Quid possint arcus
curvarum
assumptarum:
omnia posse &
inventam.
Conditio neces-
saria, ex hujus
curvæ natura.
Corol. 1 includi in
corol. 2.
Quid ubivis etiam
extra limites.
Demonstratio
eadem.
Mutationem
abscissæ posse
habere ad
mutatio-nem
ordinatæ
relationem
quancunque.
Demonstratur pro
ratione finita.
