208. Hoc pacto datis locis A, B pro singulis rectis egressis e puncto medio D duæ
haberentur diversæ curvæ, quæ diversas admodum exhiberent virium leges; ac si
quæreretur locus geometricus continuus, qui exprimeret simul omnes ejusmodi leges
pertinentes ad omnes ejusmodi curvas, sive indefinite exhiberet omnes vires pertinentes
ad omnia puncta C, ubicunque collocata; oporteret erigere in omnibus punctis C rectas
normales plano ACB, alteram æqualem CO,
[94]
alteram OF, & vertices ejusmodi
normalium determinarent binas superficies quasdam continuas, quarum altera exhiberet
vires in directione CD attractivas ad D, vel repulsivas respectu ipsius, prout, cadente O
citra, vel ultra C, normalis illa fuisset
erecta supra, vel infra planum; & altera
pariter vires perpendiculares. Ejusmodi
locus geometricus, si algebraice tractari
deberet, esset ex iis, quos Geometræ
tractant tribus indeterminatis per unicam
æquationem inter se connexis; ac data
æquatione ad illam primam curvam figuræ
1, posset utique inveniri tam æquatio ad
utramlibet curvam respondentem singulis
rectis DC, constans binis tantum
indeterminatis, quam æquatio determinans
utramlibet superficiem simul indefinite per
tres indeterminatas.
m
Stantibus in fig. 22 punctis ADBCKFLO, ut in fig. 21, ducantur perpendicula BP, AQ in CD, quæ
dabuntur data inclinatione DC, & punctis B, A, ac pariter dabuntur & DP, DQ. Dicatur præterea DC = x,
& dabuntur analytice CQ, CP. Quare ob angulos rectos P, Q, dabuntur etiam analytice CB, CA.
Denominentur CK = u, CL = z, CF = y. Quoniam datur AB, & dantur analytice AC, CB; dabitur analytice
ex applicatione Algebræ ad Trigonometriam sinus anguli ACB per x, & datas quantitates, qui est idem, ac
sinus anguli CKF complementi ad duos rectos. Datur autem idem ex datis analytice valoribus CK = u, KF
= CL = z, CF = y; quare habetur ibi una æquatio per x, y, z, u, & constantes. Si præterea valor CB ponatur
pro valore abscissæ in æquatione curvæ figuræ I; acquiritur altera æquatio per valores CK, CB, sive per x,
u, & constantes. Eodem facto invenietur ope æquationis curvæ figuræ 1 tertia æquatio per AC, & CL,
adeoque per x, z, & constantes. Quare jam habebuntur æquationes tres per x, u, z, y, & constantes, quæ,
eliminatis u, & z, reducentur ad unicam per x, y, & constantes, ac ea primam illam curvam definiet.
Quod si quæratur æquatio ad secundam curvam, cujus ordinata est CO, vel tertiam, cujus ordinata
OF, inveniri itidem poterit. Nam datur analytice sinus anguli DCB = , & triangulo FCK datur analytice
sinus FCK = ×
sin
CKF. Quare datur analytice etiam sinus differentiæ OCF, adeoque & ejus cosinus,
& inde, ac ex CF datur analytice OF, vel CO. Si igitur altera ex illis dicatur p, acquiritur nova æquatio,
cujus ope una cum superioribus eliminari poterit præterea una alia indeterminata; adeoque eliminata CF =
y, habebitur unica æquatio per x, p, & constantes, quæ exhibebit utramlibet e reliquis curvis
determinantibus legem virium CO, vel OF.
Pro æquatione cum binis indeterminatis, quæ exhibebit locum ad superficiem, ducatur CR
perpendicularis ad AB, & dicatur DR = x, RC = q, denominatis, ut prius, CK = u, L = z, CF = v; &
quoniam dantur AD, DB; dabuntur analytice per x, & constantes AR, RB, adeoque per x, q, & constantes
AC, CB, & factis omnibus reliquis, ut prius, habebuntur quatuor æquationes per x, q, u, z, y, p, &
constantes, quæ eliminatis valoribus u, z, y, reducentur ad unicam datam per constantes, & tres
indeterminatas x, p, q, sive DR, RC, & CO, vel OF, quæ exhibebit quæsitum locum ad superficiem.
Calculus quidem esset immensus, sed patet methodus, qua deveniri possit ad æquationem quæsitam.
Mirum autem, quanta curvarum, & superficierum, adeoque & legum virium varietas obveniret, mutata
tantummodo distantia AB binorum punctorum agentium in tertium, qua mutata, mutatur tota lex, &
æquatio.
Expressio magis
generalis per
superficiem.
