distantiæ singulæ ex altera parte crescunt,
ex altera decrescunt continue tantum,
quantum promovetur planum, & si aliqua
distantia evanescit interea; jam eadem
deinde incipit tantundem ex parte contraria
crescere. Quare patet excessum omnium
citeriorum
[114]
distantiarum supra omnes
ulteriores æquari progressui plani toties
sumpto, quot puncta habentur, & in
regressu destruitur e contrario, quidquid in
ejusmodi progressu est factum, atque
idcirco ad æqualitatem reditur. Verum ut
demonstratio quam accuratissima evadat,
exprimat in fig. 36 recta AB planum
distantiarum æqualium, & CD planum ipsi
parallelum, ac omnia puncti distribui
poterunt in classes tres, in quorum prima
sint omnia jacentia citra utrumque planum,
ut punctum E; in secunda omnia puncta jacentia inter utrumque, ut F, in tertia omnia
puncta adhuc jacentia ultra utrumque, ut G. Rectæ autem per ipsa ductæ in directione
data quacunque, occurrant rectæ AB in M, H, K, & rectæ CD in N, I, L; ac sit quædam
reacta directionis ejusdem ipsis AB, CD occurrens in O, P. Patet, ipsam OP fore
æqualem ipsis MN, HI, KL. Dicatur jam summa omnium punctorum E primæ classis E,
& distantiarum omnium EM summa
e
; punctorum F secundæ classis F, & distantiarum
f
; punctorum G tertiæ classis summa G, & distantiarum earundem
g
; distantia vero OP
dicatur O. Patet, summam omnium MN fore E × O; summam omnium HI fore F × O;
summam omnium KL fore G × O; erit autem quævis EN = EM +MN; quævis FI = HI
−
FH; quævis GL = KG
−
KL. Quare summa omnium EN erit
e
+ E × O; summa omnium
FI = F × O
−
f
, & summa omnium GL =
g
−
G × O; adeoque summa omnium
distantiarum punctorum jacentium citra planum CD, primæ nimirum, ac secundæ
classis, erit
e
+ E × O + F × O
−
f
, & summa omnium jacentium ultra, nimirum classis
tertiæ, erit
g
−
G × O. Quare excessus prioris summæ supra secundam erit
e
+ E × O + F
× O
−
f
−
g
+ G × O; adeoque si prius fuerit
e
=
f
+
g
; deleto
e
−
f
−
g
, totus excessus erit
E × O + F × O + G × O, sive (E + F + G) × O, summa omnium punctorum ducta in
distantiam planorum; & vice versa si is excessus respectu secundi plani CD fuerit
æqualis huic summæ ductæ in distantiam O, oportebit
e
−
f
−
g
æquetur nihilo, adeoque
sit
e
=
f
+
g
, nimirum respectu primi plani AB summas distantiarum hinc, & inde
æquales esse.
244. Si aliqua puncta sint in altero ex iis planis, ea superioribus formulis contineri
possunt, concepta
zero
singulorum distantia a plano, in quo jacent; sed & ii casus
involvi facile possent, concipiendo alias binas punctorum classes; quorum priora sint in
priore plano AB, posteriora in posteriore CD, quæ quidem nihil rem turbant: nam prioris
classis distantiæ a priore plano erunt omnes simul
zero
, & a posteriore æquabuntur
distantiæ O ductæ in eorum numerum, quæ summa accedit priori summæ punctorum
jacentium citra; posterioris autem classis distantiæ a priore erant prius simul æquales
summæ ipsorum ductæ itidem in O, & deinde fiunt nihil; adeoque
[115]
summæ
distantiarum punctorum jacentium ultra, demitur horum posteriorum punctorum summa
itidem ducta in O, & proinde excessui summæ citeriorum supra summam ulteriorum
accedit summa omnium punctorum harum duarum classium ducta in eandem O.
Complementum
demonstrationis ut
extendatur ad
omnes casus.
