313. Hæc quidem pertinent ad directiones: nunc ipsas earum virium magnitudines inter
se comparabimus, ubi statim occurret elegantissimum illud theorema, de quo
mentionem feci num. 225:
Vires acceleratrices binarum quarumvis e tribus massis in se
mutuo agentibus sunt in ratione composita ex tribus,
[146]
nimirum ex directa sinuum
angulorum quos continet recta jungens ipsarum centra gravitatis cum rectis ductis ab
iisdem centris ad centrum tertiæ massæ; reciproca sinuum angulorum, quos directiones
ipsarum virium continent cum iisdem rectis illas jungentibus cum tertia; & reciproca
massarum
. Nam est BQ ad AH assumptis terminis mediis BR, AI in ratione composita
ex rationibus BQ, ad BR, & BR ad AI, & AI ad AH. Prima ratio est sinus QRB, sive
CBA ad sinum BQR, sive PBQ, vel CBD: secunda massæ A ad massam B: tertia sinus
IHA, sive HAG, vel CAD, ad sinum HIA, sive CAB: eæ rationes, permutato solo ordine
antecedentium, & consequentium, sunt rationes sinus CBA ad sinum CAB, quæ est illa
prima e rationibus propositis directa; sinus CAD ad sinum CBD, quæ est secunda
reciproca: & massæ A ad massam B, quæ est tertia itidem reciproca. Eadem autem est
prorsus demonstratio: si comparetur BQ, vel AH cum CT, ac in hac demonstratione, ut
& alibi ubique, ubi de sinubus angulorum agitur, angulis quibusvis substitui possunt, uti
sæpe est factum, & fiet imposterum, eorum complementa ad duos rectos, quæ eosdem
habent sinus.
314. Inde consequitur,
esse ejusmodi vires reciproce, ut massas ductas in, suas
distantias a tertia massa, & reciproce, ut sinus, quos earum directiones continent cum
iisdem rectis; adeoque ubi eæ ad, ejusmodi rectas inclinentur in angulis æqualibus, esse
tantummodo reciproce, ut producta massarum per distantias a massa tertia
. Nam ratio
directa sinuum CBA, CAB est eadem, ac distantiarum AC, BC, sive reciproca
distantiarum BC, AC, qua substituta pro illa, habentur tres rationes reciprocæ, quas
exprimit ipsum theorema hic propositum. Porro ubi anguli æquales sunt, sinus itidem
sunt æquales, adeoque eorum sinuum ratio fit 1 ad 1.
315.
Vires autem matrices sunt in ratione composita ex binis tantummodo, nimirum
directa sinuum angulorum, quos continent distantiæ a tertia massa cum distantia a se
invicem; & reciproca sinuum angulorum, quos continent cum iisdem distantiis
directiones virium; vel in ratione composita ex reciproca illarum distantiarum, &
reciproca horum posteriorum sinuum: ac si inclinationes ad distantias sint æquales, in
sola ratione reciproca distantiarum.
Nam vires motrices sunt summæ omnium virium
determinantium celeritatem in punctis omnibus secundum eam directionem, secundum
quam movetur centrum gravitatis commune, quæ idcirco sunt præterea directe, ut
massæ, sive ut numeri punctorum; adeoque ratio directa, & reciproca massarum mutuo
eliduntur.
Theorema
præcipuum de
magnitudine,
quod toti Operi
occasionem dedit.
Ejus demonstratio
expeditissima.
Corollarium
simplex pro
viribus ipsis.
Ratio virium
motricium.
