310. Sed est adhuc elegantius theorema, quod ad directionem pertinet, nimirum:
Omnium trium compositarum virium directiones utrinque productæ transeunt per idem
punctum: & si id jaceat intra triangulum; vel omnes simul tendunt ad ipsum, vel omnes
simul ad partes ipsi contrarias: si vero jaceat extra triangulum; binæ, quarum
directiones non ingrediuntur triangulum, tendunt ad ipsum, ac tertia, cujus directio
triangulum ingreditur, tendit ad partes ipsi contrarias; vel illæ binæ ad partes ipsi
contrarias, & tertia ad ipsum.
Prima pars, quod omnes transeant per idem punctum, sic demonstratur. In figura
quavis a 57 ad 62, quæ omnes casus exhibent, vis pertinens ad C sit ea, quæ triangulum
ingreditur, ac reliquæ binæ HA, QB concurrant in D: oportet demonstrare, vim etiam,
quæ pertinet ad C, dirigi ad D. Sint CV, C
d
vires componentes, ac ducta CD, ducatur
VT parallela CA, occurrens CD in T; & si ostensum fuerit, ipsam fore æqualem C
d
res
erit perfecta: ducta enim
d
T remanebit CVT
d
parallelogramrnum, per cujus diagonalem
CT dirigetur vis composita ex CV, C
d
. Ejusmodi autem æqualitas demonstrabitur
considerando rationem CV ad C
d
compositam ex quinque intermediis, CV ad BP, BP ad
PQ, PQ, sive BR ad AI, AI, sive HG ad AG, AG ad
[145]
C
d
. Prima vocando A, B, C
massas, quarum ea puncta sunt centra gravitatum, est ex actione, & reactione æqualibus
ratio massæ B ad C; secunda
sin
PQB, sive ABD, ad
sin
PBQ, sive CBD; tertia A ad B:
quarta
sin
HAG, sive CAD, ad
sin
GHA, sive BAD: quinta C ad A. Tres rationes, in
quibus habentur massæ, componunt rationem B
×
A
×
C ad C
×
B
×
A, quæ est 1 ad 1,
& remanet ratio
sin
ABD
×
sin
CAD ad
sin
CBD
×
sin
BAD. Pro
sin
ABD, &
sin
BAD, ponantur AD, & BD ipsis proportionales; ac pro
sinu
CAD, &
sin
CBD ponantur
ACD × CD
AD
, &
BCD × CD BD
, ipsis æquales ex Trigonometria, & habebitur ratio
sin
ACD
×
CD ad
sin
BCD
×
CD sive
sin
ACD, vel CTV, qui ipsi æquatur ob VT, CA
parallelas, ad
sin
BCD, sive VCT, nimirum ratio ejusdem illius CV ad VT. Quare VT
æquatur C
d
, CVT
d
est parallelogrammum, & vis pertinens ad C, habet directionem
itidem transeuntem per D.
Secunda pars patet ex iis, quæ demonstrata sunt de directione duarum virium, ubi
tertia triangulum ingreditur, & sex casus, qui haberi possunt, exhibentur totidem figuris.
In fig. 57, & 58 cadit D extra triangulum ultra basim AB, in 59, & 60 intra triangulum,
in 61, & 62 extra triangulum citra verticem ad partes basi oppositas, ac in singulorum
binariorum priore vis CT tendit versus basim, in posteriore ad partes ipsi oppositas. In
iis omnibus demonstratio est communis juxta leges transformationis locorum
geometricorum, quas diligenter exposui, & fusius persecutus sum in dissertatione
adjecta meis
Sectionum Conicarum Elementis
, Elementorum tomo 3.
311. Quoniam evadentibus binis HA, QB parallelis, punctum D abit in infinitum &
tertia CT evadit parallela reliquis binis etiam ipsa juxta easdem leges; patet illud: Si
binæ ex ejusmodi directionibus fuerint parallelæ inter se; erit iisdem parallela & tertia:
ac illa, qua jacet inter directiones virium transeuntes per reliquas binas, quæ idcirco in
eo casu appellari potest media, habebit directionem oppositam directionibus reliquarum
conformibus inter se.
312. Patet autem, datis binis directionibus virium, dari semper & tertiam. Si enim illæ
sint parallelæ; erit illis parallela & tertia: si autem concurrant in aliquo puncto; tertiam
determinant recta ad idem punctum ducta: sed oportet, habeant illam conditionem, ut
tam binæ, quæ triangulum non ingrediantur, quam quæ ingrediantur, vel simul tendant
ad illud punctum, vel simul ad partes ipsi contrarias.
Theorema
elegantius ad eas
pertinens cum
ejus
demonstratione.
Corollarium pro
casu directionum
parallelarum.
Aliud generate
tertiæ directionis
datæ datis binis.
