De rectis quæ sese contingunt
Quia vero ab altera parte, et inclinatæ priores, et hæ inclinatæ ex disparatis factæ coniungi
possunt, coniunctio hæc est contemplanda. Itaque.
Si ab uno puncto, in spacio posito, ad duo alia puncta in spacio posita, duæ rectæ
lineæ signentur, aut in directum, aut in non directum signabuntur. Si in directum
signentur, consequentes lineæ efficiuntur, de quibus est peractum. De signatis ergo non in
directum, est agendum. Si ergo ab uno puncto in spacio ad duo alia puncta duæ lineæ
trahantur, inter punctum, et lineas spacium intercipitur.
Nam si spacium non interciperetur, consequentes essent. Non sunt aut ex
demonstratis. Ergo erunt, vel parallelæ, vel inclinatæ. Sed parallelæ nunqnam iunguntur,
inclinatæ vero ab una possunt iungi parte ad punctum illum unum poterunr signari inclinatæ.
Sed si ab altera parte inclinatæ sunt, a distantiore necessario refugientes signabuntur. Sed
poterunt, et non inclinatæ, et non refugientes signari, idque in earum medio. Mediaque erit
inter fugam et inclinationem. Quæ autem ita mediæ sunt, numquam non mediæ erunt; atque
ideo numquam eum situm mutant. A quo et inclinantes, et refugientes, magis ac magis a
medio poterunt discedere. Atque. ideo aliquando tantum discedent, ut altera alteri possit
superponi; et una fieri linea, neque amplius inclinari. Refugientes quoque, tantum aliquando
poterunt refugere, ut altera alteri in tectum ponatur, et fiant consequentes. Quæ speculatio
potest; et ipsa ab hac postrema, per media ad suum principium resolvi, aut regredi.
De Angulo Rectilineo
Quoniam non solum duæ rectæ lineæ, sese in puncto tangentes, de se eas quas percurrimus
demonstrationes, edere possunt, quæ ad inclinationem, et fugam, et medietatem pertineant,
sed etiam in eis angulos formant, de Angulis necessario est modo agendum. De quibus multa
veteres supposuerunt, nihil tamen de anguli natura demonstrarunt. Eum quoque diffinierunt.
Angulus planus est inclinatio alterna duarum linearum, quæ sese in piano contingunt, et in
directum non iacent. Nos vero aliter. Angulus est spacium, a duabus lineis ad contactum
earum interceptum. Angulus autem rectilineus est spacium a duabus rectis lineis ad earum
contactum interceptum. Nam si ad contactum nullum spacium interciperetur, una
tantum essent factæ recta linea. At recta una non sunt; ergo spacium ad contactum intercipitur.
Si vero eæ duæ lineæ fuerint, altera alteri perpendiculares, angulus is inter inclinationem,
et fugam erit medius. Fuitque is a veteribus angulus rectus nuncupatus. Quia vero hic medius,
uti est demonstratum, numquam variat, semper ergo erit rectus, et conversim, si rectus fuerit,
semper erit medius et a duabus perpendicularibus interceptus. Et per consequens, quia semper
rectus est, situm suum numquam variat. Atque ideo, nec minor fiet, ergo est semper sibi
æqualis. Ergo omnes recti anguli, sunt inter se æquales. Ergo qui recto angulo non est æqualis,
rectus angulus non est. Ergo qui angulus rectus non est, nec recto æqualis, vel minor, vel
maior recto erit. Ergo neque a duabus perpendicularibus intercipietur. Ergo vel ab inclinatis,
vel a refugientibus intercipietur. Esto prius ab inclinatis interceptus. Inclinans autem linea
recta ea est qua a contactu duarum perpendicularum inter easprotrahitur. Quæ cum inter
ambas protrahatur, ad utramque erit inclinata. Nisi enim inclinata esset, vel perpendicularis
esset, vel refugiens, quod contra suppositum est. Quia vero inclinata est, ad utramque duos
inter eas facit angulos, qui necessario prioris anguli recti erunt partes. Et ideo recto ipso
minores. Sunt autem illi duo suo toto recto, acutiores, necessario omnis angulus acutus, minor
erit omni recto. Et quanto magis inclinata illa media ad alteram perpendicularem inclinaverit,
tanto angulum cum efficiet minorem, ideoque acutiorem. Alterum vero sibi socium efficiet
necessario maiorem. Inclinans autem illa acutiorem semper faciendo angulum, et minorem;
tantum poterit inclinare, ut aliquando angulum effciat minimum. Minimum autem illum
vocamus, quo minor esse nequeat. Alter vero socius, intra duas illas perpendiculares, erit
acutorum angulorum maximus. Minimus autem, ille si adhuc sua linea inclinet cum
