quia brevissima. Et id, quia inter proxima consequentium puncta, fuerat ducta. Et id
quia poterat ad ea duci. Et id, quia spacium intercedebat. Et hoc, quia non sese contingebant.
De rectis Parallelis
Veteres, parallelas deffiniere, eas lineas esse, quæ in eadem superficie, utrimque productæ,
numquam concurrunt, sed quia definitio hæc demonstrari potest, pro principio per se noto,
non est ponenda. Atque ideo dicimus.
Lineæ paralleli eæ sunt, quæ in latitudine inter se positæ omnibus sui partibus
oppositis sunt æquidistantes. Æquidistantiam hanc intelligo, quando partes oppositarum nulla
ab altera, vel procul abit, vel prope accedit. Et quia parallelæ, et rectæ, et curvæ esse
possunt de rectis nunc agamus. Quas diximus omnibus suis partibus æquidistare. Et quia
partibus omnibus æquidistant, sunt parallelæ. Atque ideo totæ ipsæ etiam æquidistabunt.
Et conversim, quia totæ æquidistant, omnes quoque earum partes æquidistant. Atque hinc sit,
ut si utrimque in rectum protrahantur, partes quoque protractæ æquidistabunt. Et ideo si in
infinitum quoque protrahantur, etiam erunt parallelæ. Et quia protractæ partes sunt parallelæ,
nunquam sib invicem propinquabunt. Atque ideo nunquam concurrent. Quæ res, ut
principium posita, a veteribus, a nobis est demonstrata. Et resolvi etiam demonstrationes hæ
possunt, si dicamus. Parallelas nunquam concurrere, quia earum partes nunquam propinquant.
Et hoc, quia protractæ partes sunt parallelæ. Id vero quoniam in rectum protrahuntur. Et id,
quia partes earum priores sunt parallelæ. Et hoc ipsum, quia partes primarum inter se
æquidistant.
De rectis Inclinatis
Linea rectas inclinatas diximus nos vocare, eas, quæ a latere sibi positæ, partes non habent
æquidistantes. Suntque duarum specierum. Priores, quando extrema earum ab uno viciniora
sunt, quam ab alio. Secundæ, quando extremum alterius, mediæ alteri propinquat. Atque ideo
evenit, ut altera tota, alteri toti non æquidistat. Et conversim, quando non æquidistant, sunt
necessario inclinatæ. Et si totæ sunt inclinatæ, etiam partes omnes sunt inclinatæ. Sed
propinquiores magis, longinquiores minus. Si vero hæ longinquiores in rectum protrahantur,
protractæ partes magis ac magis distabunt semper. Atque ideo concurrent nunquam, neque
coniungentur. Quare demonstratione hac ostenditur, hoc ipsum, nunquam concurrere, non
esse solarum parallelarum proprium, sed et inclinatarum commune. Quod veteres non
animadverterunt. Si vero e contra, ab alteris extremis, quæ sunt propinquiora, protrahantur
in rectum, minus ac minus semper distabunt, semper ergo magis propinquabunt. Atque ideo,
si adhuc protrahantur, concurrent tandem. Et ubi concurrunt, etiam iunguntur. Iunguntur
autem, (resolvendo) quia concurrunt. Ideo, quia magis semper propinquant. Et id, quia semper
minus distant. Et id, quia ibi a principio distabant minus. Et id, quia eo inclinabant? Sicuti e
contra a parte altera, quia magis distabant protractæ in rectum, nunquam concurrebant, quia
magis protractæ, semper longius discedebant. Quia partes, aliam plus, aliam distantem minus
habent. Id vero, quia partes non sunt æquidistantest. Id vero quia tota toti non æquidistat. Id
autem quia sunt inclinatæ.
De rectis Disparatis
Rectas lineas disparatas eas vocavimus, quæ nec consequentes, nec parallelæ, neque inclinatæ
sunt, respectum tamen mutuum aliquem habent. Eum scilicet ut neque in longum, neque in
latum sint sibi invicem positæ. Si vero in rectum protrahantur vel parallelæ fiunt, vel
inclinatæ. Si vero parallelæ vel omnes parallelarum proprietates nanciscuntur, et nunquam
coniungentur, sicuti etiam si fiant inclinatæ, inclinatarum omnes acquirent proprietates. Atque
ideo et concurrere, ab una parte queunt, a parte altera nequeunt.
