130. Concipiatur totum systema projectum in planum perpendiculare axi rotationis
transiens per centrum gravitatis G, in quo plano punctum conversionis sit P, massa
autem in recta PG in Q. Velocitas puncti cujusvis systematis, quod distet ab axe per
intervallum = 1, ante incursum sit =
a
, velocitas ab eodem amissa sit =
x
, adeoque
velocitas post impactum =
a
–
x
, velocitas autem massæ Q ante impactum sit = PQ
×
b
.
Erit ut 1 ad AP, ita
x
ad velocitatem amissam a massa A, quæ erit AP
×
x
. Erit autem ut
1 ad
a
–
x
ita PQ ad velocitatem residuam in puncto systematis Q, quæ net PQ
×
(
a
–
x
),
& ea erit itidem velocitas massse Q post
[308]
impactum, adeoque massa Q acquiret
velocitatem PQ
×
(
a – b – x
), sive posito
a – b = c
, habebitur PQ
×
(
c – x
). Porro ex
mutuo nexu massæ A cum P, & Q erit Q
×
PQ ad A
×
AP, ut effectus ad velocitatem
pertinens in A = AP
×
x
ad effectum in Q =
A×AP
2
Q×QP
×
. Summa horum effectuum
provenientium e massis omnibus erit æqualis velocitati acquisitæ in Q. Nimirum
ʃ .A×AP
2
Q×QP
× = QP × − QP × , sive
ʃ .A×AP
2
+Q×QP
2
Q×QP
× = QP ×
, &
x
=
Q×QP
2
ʃ . A×AP
2
+ Q×PG
2
×
. Dato autem
x
datur
a – x
, & is valor ductus in distantiam puncti
cujusvis systematis, vel etiam massæ Q, exhibebit velocitatem quæsitam. Q.E.F.
131.
Scholium
. Formula habet locum etiam pro casu, quo massa Q quiescat, vel quo
feratur contra motum systematis, dummodo in primo casu fiat
b = o
, &
c = a
, ac in
secundo valor
b
mutetur in negativum, adeoque sit
c = a + b.
Posset etiam facile
applicari ad casum, quo in conflictu ageret elasticas perfecta vel imperfecta.
Determinatio tradita exhiberet partem effectus in collisione facti tempore amissas
figuræ, ex quo effectus debitus tempori totus collisionis usque ad finem recuperatæ
figuræ colligitur facile, duplicando priorem, vel augendo in ratione data uti fit in
collisionibus.
132. Itidem locum habet pro casu, quo massa nova non jaceat in Q in recta PG, sed in
quovis alio puncto plani perpendicularis axi transeuntis per G, ex quo si intelligatur
perpendiculum in PG ei occurrens in Q; idem prorsus erit impactus ibi, qui esset in Q,
translata actione per illam systematis rectam. Qui imo si Q non jaceat in eo plano
perpendiculari ad axem, quod transit per centrum gravitatis, sed ubivis extra, res eodem
redit, dummodo per id punctum concipiatur planum perpendiculare axi illi immoto per
vim externam ad quod planum reducatur centrum gravitatis, & quævis massa A; vel si
ipsa massa Q cum reliquis reducatur ad quodvis aliud planum perpendiculare axi.
Omnia eodem recidunt ob id ipsum, quod axis externa vi immotus sit. Sed jam ex
generali solutione problematis deducimus plura Corollaria.
133.
Corollarium
I. Si distantia centri oscillationis totius systematis ab axe P dicatur R,
distantia centri gravitatis G, massa tota M, habebitur
= Q × PQ
2
M × G × R + Q × PG
2
× , & [
] = M × G × R Q × PQ
2
+ 1.
Patet ex eo, quod ex natura centri oscillationis habetur R
ʃ . A×AP
2
M×G
, adeoque
ʃ
. A
×
AP
2
= M × G × R
.
Solutio: formulæ
continentes
motum massæ in
quam incidit, &
suum reliquum.
Casus
particulares, ad
quos applicari
potest.
Ejusdem ulterior
extensio.
Relatio ad
centrum
oscillationis.
